大美開封 風雅汴梁：宋代數學 蓬勃發(fā)展
http://funboxpower.com 添加時間：2015/4/13 11:14:55 來源：河南省旅游局信息中心 點擊次數：
宋元數學是中國古代數學的黃金時代。公元960年，北宋的建立結束了五代十國割據的局面，北宋的農業(yè)、手工業(yè)、商業(yè)空前繁榮，科學技術突飛猛進。公元1084年秘書省第一次印刷出版了《算經十書》，公元1213年鮑搟之又進行翻刻，這為數學發(fā)展創(chuàng)造了良好的條件。在這一時期，數學研究的很多領域都達到古代數學的高峰，其中一些成就也是當時世界數學的高峰。宋代在數學研究方面取得了諸多重大成就，如賈憲三角與開方作法本源圖、增乘開方法、大衍求一術、隙積術、垛積術、會圓術、縱橫圖、籌算和珠算等。然而，宋代后期，算盤和珠算的使用使數學的抽象思維被禁錮，數學的發(fā)展開始滯后。
“宋代數學的研究成果呈‘井噴’式大爆發(fā)，與前朝和后代相比，這一時期的數學研究成果眾多，不少理論我們至今還在教學和運用。”提起宋代數學，河南大學歷史文化學院副教授惠冬博士說。
中國數學的發(fā)展可分為中國古代數學的萌芽、中國古代數學體系的形成、中國古代數學的發(fā)展、中國古代數學的繁榮、中西方數學的融合五個階段。中國古代數學的萌芽始于原始公社末期。春秋戰(zhàn)國時期，籌算作為中國古代的計算工具，已得到普遍應用。秦漢時期，隨著社會經濟和文化的迅速發(fā)展，算術成為一個專門學科，以《九章算術》為代表的數學著作出現。魏、晉時期出現的玄學，運用邏輯思維，分析義理，這有利于數學從理論上加以提高。至唐朝后期，計算技術有了進一步改進和普及，出現多種實用算術書，對于乘除算法力求簡捷，推動了古代數學的發(fā)展。
“到了宋元時期，中國古代數學達到了巔峰。”惠冬說，在古代，數學叫做算術，又稱算學、術、算、九九、九算，別稱很多。術作為一門單獨的學問在先秦的時候就有了，周禮六藝“禮”“樂”“射”“藝”“書”“術”中最后一個術指的就是數學。第一次提到數學這個詞是在宋代，南宋秦九韶提出“物生而后有象，象而后有滋，滋而后有數”，是說先有物才有象，象的繁衍滋生才有了數，這也算是數學的第一個定義了。“現在我們所知道的宋代算學專著已知其名字的大概有54種，而傳世的只有十幾種。”惠冬介紹說，“宋代對數學家極為重視，歷史上第一次對數學家的追封是在宋徽宗時期，一次追封了70位數學家，供后世供奉，官方的重視和支持也是數學繁榮發(fā)展的原因之一。”
北宋數學家賈憲在《黃帝九章算經細草》中首先提出開方作法本源圖，即現在的指數為正整數的二項式定理系數表，是一個由數字構成的三角形數表，現稱“賈憲三角”，因見于南宋數學家楊輝著作，故亦曾稱“楊輝三角”。楊輝在《詳解九章算法》一書中明確指出“賈憲三角”為開方作法本源圖，稱這個圖系“出釋鎖算書，賈憲用此術”，并繪出了“古法七乘方圖”。元朝數學家朱世杰在《四元玉鑒》中擴充“賈憲三角”為“古法七乘方圖”。歐洲人稱“賈憲三角”為帕斯卡三角，比賈憲的提法晚了600多年。除“賈憲三角”外，賈憲還引入了一種新的開平方、開立方的方法，即增乘開方法，把方法中的乘平方、乘立方等步驟用隨乘隨加的方法加以代替。賈憲創(chuàng)造的增乘開方法的運算原則可以推廣到求任何高次冪和高次方程正實根的近似值。惠冬說，在西方，關于高次方程數值解法的探討，經歷了漫長的過程，直到1804年，意大利數學家魯非尼創(chuàng)立逐次近似法解決數字高次方程的近似值問題，并因此獲得了意大利科學協(xié)會頒發(fā)的金質獎章。1819年，英國數學家霍納才提出了與增乘開方法演算步驟基本一致的算法，后被稱為“霍納法”，這比南宋數學家秦九韶提出的算法晚了500多年。
“在中國古代，對于一般等差數列和等比數列，很早就有了初步的研究成果，如《九章算術》《張丘建算經》等都提出了一些有關等差級數求公差及求和的公式。”惠冬說，高階等差數列的研究始于沈括�！断斗e術和會圓術》中所記的隙積術和會圓術就是他的兩大重要研究成果。隙積術是用來計算諸如累棋、層壇、積罌（堆砌的酒壇子）一類堆垛物體的體積公式，其中包含了高階等差級數的計算公式。“隙積術”的計算方法和現代數學中“積彈”的算法相似，現在又稱為二階等差級數的求和法即把同樣的很多物品層層堆積，各層都是一個長方形，自下而上，逐層在長、寬方面各減少一個，求其總數。沈括的研究開了中國垛積術研究的先河。后來，南宋時期的數學家楊輝發(fā)展了這一成果，創(chuàng)造了垛積術公式。會圓術是計算圓弧的弦、矢（弧的高）與弧長間數量關系的數學公式，已知圓的直徑和弓形的高，求弓形的弦和弧長的方法。在我國數學史上，沈括第一個利用弦、矢求出了弧長的近似值。這一公式為元代郭守敬創(chuàng)制《授時歷》提供了直接的數學依據。
南宋秦九韶在《〈數書九章〉序》中提到算數又分為內算和外算，內算是指數術中秘而不傳的部分，是大數術，包括綴術和三式，綴術又包括天象和歷度；三式又包括太乙、六壬和奇門遁甲；內算的功能是“通神明，順性命”。外算是數術中公開傳授的部分，是小數術，其功能是“經世務，類萬物”。宋代以前，內算與外算是一個整體，內外之分不甚明顯，統(tǒng)稱數術、術數、道術、歷數、歷算、算法、算經、算術、數學、度數之學或象數之學，數術從業(yè)者一般稱為疇人。
秦九韶與李冶、楊輝、朱世杰并稱宋元數學四大家，其著作為《數書九章》，創(chuàng)立了大衍求一術。大衍求一術就是求解聯立一次同余式問題，被世界上稱為中國的剩余定理。秦九韶在其著作《數書九章》中詳細、系統(tǒng)地介紹了大衍求一術求解一次同余式問題，這是我國古代數學的杰出成就，在世界數學史上占有重要地位。在西方，直到18世紀~19世紀，著名數學家歐拉和高斯才對一次同余式問題進行了詳細研究，得到了與大衍求一術相通的結果，并給出證明。這比《數書九章》晚了近500年。在數學史上，上述定理過去被稱為“中國剩余定理”，現多改稱為“孫子剩余定理”或“孫子定理”。
縱橫術亦稱幻方，《數術記遺》載有“九宮算”，這實際上是一個三行縱橫圖，各行、各列及兩條對角線上的數字之和都等于15。“九宮圖”后世通稱為“洛書”，其起源早于漢代，同時它也是世界上現在已知最早的縱橫圖。
南宋楊輝在《續(xù)古摘奇算法》卷1始有“縱橫圖”之名，其中給出了3~10階的幻方及其變體共13種。楊輝給出的方形縱橫圖共有13幅，它們是：洛書數1幅、四四圖2幅、五五圖2幅、六六圖2幅、七七圖2幅、六十四圖2幅、九九圖1幅、百子圖1幅。其中還給出了“洛書數”和“四四陰圖”的構造方法。此外，還記錄了聚五圖、聚六圖、聚八圖、攢九圖、八陣圖、連環(huán)圖等圓形或環(huán)形的新型數字組合圖，這些都可以說是縱橫圖的進一步演變和發(fā)展�？梢哉f，楊輝是世界上第一個排出縱橫圖和討論其構成規(guī)律的數學家。
李冶是金元時期的數學家、詩人，在數學上的主要貢獻是天元術（設未知數并列方程的方法），用以研究直角三角形內切圓和旁切圓的性質，其著作為《測圓海鏡》�；荻f：“從11世紀～14世紀約300年期間，出現了一批著名的數學家和數學著作，李約瑟也稱‘這是一個數學家的時代’。”
惠冬介紹說，宋代數學與其之前和之后的數學研究相比，較為突出的地方就是宋代數學注重抽象思維。“這之前和之后的數學實用性比較強，宋代的數學則注重邏輯思維，這是它的一個特點。”惠冬說，這正是宋代數學受理學思想影響的結果，首先，當時很多數學家本身就是士大夫、官員，對數學的抽象思維是受到了理學的啟發(fā)。其次，理學講究“格物致知，物格而后知至”，認為格物致知是一切的基礎。“此外，宋代的任官制度也是宋代數學繁榮昌盛的另一個因素。”惠冬說，宋代任官制度有官、職、差遣三個體系。官，官名用于表示官位、俸祿高低；職，是官員在三館、密閣中所擔任的職務，稱為“館職”；差遣，指派遣。部分士大夫只有官職，而沒有實際差遣，空拿朝廷俸祿，還擁有博物情懷，這也是宋代科技文化發(fā)展的原因之一。
惠冬告訴記者，宋代的數學教育主要分為官學、私學和家學。官學由封建朝廷直接舉辦和管轄，定額210人，專職教授算學的人稱為算學博士，相當于現在的數學老師，內算外算均有教授，官府研究算學主要運用于天文歷法的推演計算。在宋代，算學往往與天文苑、司天監(jiān)等機構融合起來。私學方面，宋代各地書院都開設了算學科目。在家學中，最具代表性的人物是苗訓與其子苗守信，苗訓，善天文占候術，以謀略見長，曾預言趙匡胤陳橋兵變。
宋代之前，作為主要計算工具的算籌存在使用不便、演算速度和效率低下的缺點。宋代社會的快速發(fā)展和滿足大量繁雜計算的需求，推動了該時期籌算法的研究。費正清、賴肖爾所著的《傳統(tǒng)與變革》一書中指出，“宋代后期開始用算盤，自此以后成為東亞商人的主要計算工具。”算盤起源于宋代，在張擇端的《清明上河圖》“趙太丞家”的藥鋪正面柜桌上放著算盤，經中國珠算專家鑒定，確認畫中之物的確是和現在使用的算盤類似。楊輝在《乘除通變算寶》里、朱世杰在《算學啟蒙》里都記載了有關算盤的《九歸除法》，可見，在宋代算盤的使用已經比較普遍了。
“到元代后期，算盤和珠算的普及對前代的數學理論研究是一個巨大的挑戰(zhàn)。珠算的大量使用使數學開始實用化，對于抽象思維的探索被禁錮，而后，數學的發(fā)展開始滯后，進而阻礙了中國古代數學的發(fā)展。”惠冬說，“所以，元初之后，我國古代數學的發(fā)展相對緩慢，再也不復宋時的黃金時期。”
(作者：安娟娟 責任編輯：陳艷華) 【回到頂部】 【返回上頁】 【關閉窗口】
